先给一下的“古典音乐”一词划定一下范围，大致上是指Chopin、Brahms、Mendelssohn等人及其以前的；
然后再声明一下爵士乐风格变化跨度极大，在各方面都没有比较统一的范式，这里只是进行了大致总结。
可以说这是两种音乐最核心的区别。
古典钢琴曲，它的产生方式是——作曲家在钢琴上或者凭空创作，将音乐记载在乐谱上，由自己或者演奏家进行演奏；
而爵士钢琴曲，多是在有乐队伴奏的情况下在事先排练的基础之上进行即兴演奏，没有官方记谱。
古典音乐在巴洛克时期是有非常流行的即兴方式的，即数字低音（figured bass），不过也不同于爵士，只是类似。大概到了古典主义时期这种方式就不流行了吧。
古典音乐应该说没有一个固定的节奏型，它运用到的节奏型非常多。但是在律动上多数时候会保持各种小节内节奏强弱的规律（参见乐理教材）；
而爵士乐主要是以swing节奏型（参见wikipedia）为基础的，在此基础之上经常有很多变化，主要是1、改变节奏重音；2、变换节拍。当然也有部以这个为基本节奏型的爵士曲目，如下：
Chameleon-Herbie Hancock
古典钢琴曲的曲式种类繁多，从一段曲式到大型奏鸣曲式无不包含；
而爵士钢琴曲基本遵循曲式学中的“三部曲式”原则，即“主题-即兴-主题”。当然，爵士钢琴曲的曲式种类也并不单调，这里只是泛泛之谈。
织体就是组织音乐的结构，反映到谱面上有个非常直观的图像，形态。
古典钢琴曲的织体在大多数时候都是以左手和弦伴奏右手旋律呈现出来的。而爵士乐中情况可分为两种【2014.12.30更正by @莫索先 】：
在爵士钢琴中左手和弦伴奏右手旋律不是常态，除了手大得能弹超过十度的怪物，左手更多的在用拆分的音程，尤其是整体音域处于中低音区的时候；右手兼顾旋律及很大一部分的和弦内声部。在有主题的前提下，织体如上述那样呈现；当然即兴solo的段落，左手就会变成locked hand了，这个时候才会变成左手和弦右手旋律。
虽然没有做过统计，但是我相信古典钢琴曲在织体上的丰富程度还是略高过爵士的。其实这里折射出两者在这一点上区别不算太大。
不过有一点我敢肯定，古典钢琴曲的织体流动是比较规律的，不会出现没过几个小节就换了几个织体的情况；
而爵士钢琴曲中因为节奏上的变化打破了一个相对规整的律动，使得它可以较为自由地变换织体。
古典和声与爵士和声是两种区别很大的体系，和声手法区别大，对同一和弦的解释也有不同【参见 《So what》曲例分析和弦相关问题？】。
古典和声体系，又可以叫做调性和声体系，产生的历史源远流长。一个调内的每个和弦有主有副，功能地位各不相同，这也使得它的调性相对稳定，相同调性的片段可能可以持续很久；
而爵士和声呢，因为自身保持着一个复杂多变的调性，因此对调内的各种和弦排位没有古典音乐那样的规定。它主要靠各个调上的二级→五级→一级和弦进行来维持整个和声感觉，并在这个基础之上坐了很大的改变。
当然，打破这个进行模式的作品也不少，比如John Coltrane的《Giant Steps》。
古典和声多用三和弦与七和弦；
爵士和声多用七、九、十一、十三和弦。
爵士和声在钢琴上的运用还有一种特殊情况，就是由于乐队有贝斯手做低音，再加上复杂的和弦需要的和弦音太多但是手不见得能应付得过来，除了跟古典和声里一样省略一些和弦音，还有一种就是省略低音的声部排列（Rootless Voicing）。
所以有时候你单听钢琴声部会觉得奇怪，有时候你拿到一本标准的爵士钢琴即兴教材会发现里面一些和弦很难听，那都是因为钢琴手把低音交给了贝斯手的缘故。
这种情况在古典钢琴里我是没见过的，应当是没有；而且爵士和声复杂，就更加凸显了这种不稳定性。
爵士和声和的精髓全在钢琴上（也许吉他上也有），它的理论体系建立与爵士钢琴演奏技巧是密不可分的。所以在爵士和声的理论体系中，会教授到很多特定的和弦形式或者是织体，比如锁手和弦（Block Chord），比如《So What 》里面的So What Chord等等；
而古典和声对这种形式上的依赖较小，它教授的各种和声连接方式里存在着各种排列组合的形式。
关于爵士与古典和声的区别，我说再多不如去学习，会有很多好玩的东西包含在里面。
古典音乐肯定是以大小调体系为主的，偶尔借用中古调式；
爵士乐运用的调式材料丰富得多，有布鲁斯调式，也有中古调式、全音阶、“半全音交替”调式等等。
有一种说法，叫“爵士乐是古典音乐的浓缩版”，从和声上来讲，两者都有一个非常大的跨越，只是所用的时间不同。
以上虽然讨论了如此多的区别，但是古典钢琴与爵士钢琴，或者说古典音乐与爵士音乐有没有交集呢？肯定是有的。尤其是当我们把刚才定义的“古典音乐”之范围往后扩展到晚期浪漫主义、印象主义甚至扩展到20世纪严肃音乐，就能找到许多共同点。
理论性的东西先放一边，来听听如下曲目。
Sonata No. 8, Op. 66
这是我的偶像Scriabin的第八号钢琴奏鸣曲，肯定属于“古典音乐”范畴。开头几个和弦，说真的，长期听爵士尤其是Bill Evans的一定不会陌生。
古典音乐发展到后来，所运用的和声材料也在增多（同时节奏的变化增多）这必然和爵士乐产生交集。手法上，不同流派都有区别，不再像过去那样有个相对统一的调性和声体系理论发展，大家各自的和声语言较以往都更具有个性化。但不可否认的是，反映到音乐作品中的调性在逐步瓦解，以至于到后来产生了无调性音乐：
Piano Piece op.33a-Arnold Schoenberg
无调性音乐不仅仅存在于自由无调性音乐、12音音乐、序列主义音乐和其他20世纪先锋派音乐中，还存在与爵士乐中。由John Coltrane以及Ornette Coleman等一众爵士音乐家带来了这种完全摈弃调性框架的自由音乐。
Free Jazz-Ornette Coleman
虽然我没有找到过任何关于古典音乐家如何直接影响爵士音乐家的文献资料，但是从时间先后上可以推断，爵士音乐家还是从古典音乐家中借鉴了很多，这才使得爵士乐可以发展得如此迅猛（Scriabin去世的1915年，美国的爵士音乐都还没发展到Big Band阶段，而类似的和声手法已在那之后的约莫20~30年才出现）。同样可以从我的这篇回答中找到两者在和声上的一些共性：《So what》曲例分析和弦相关问题？
但是我们可以发现，两者虽然在和声上有不少相通之处，但是听觉上的差异在很多时候还是比较大。为什么呢？还是我最前面谈到的——
音乐理念的不同。
当然包括历史文化背景的不同。
Two Part Contention (1958）
著名的爵士钢琴家Dave Brubeck的曲目，请从4分28秒开始听，会听到古典音乐里常见的连续离调模进的和声手法（忽视节奏和其他乐手），不完全严格，但有那种风味在里面。
经过
@阿鲁卡多
介绍，再向大家推荐一位融汇了古典与爵士的音乐家Nikolai Kapustin
Nikolai Kapustin Prelude op. 53 No 11
综上只是给出了一个可以先做一个大致了解的示例，当你真正深入了解后会发现很多特殊的例子，两种钢琴音乐都有太多值得玩味的东西在里面。
最后再放两首古典&爵士的钢琴曲吧！
Études d'exécution transcendante, S. 139 (LW A172）-Claudio Arrau
Belonging
