（一）
本文见于新南威尔士大学音乐声学网站，是介绍长笛声学原理的一篇文章，其内容适用于包括箫在内的各种边棱吹口笛类乐器。该文的英文原文，见今天所发的另一篇文章，也可访问网址：
。
概述
长笛演奏者向吹孔快速吹入一段
空气柱。演奏者口中的压力高于大气压（典型的大气压是1千帕）。让这段空气柱加速的力量，就是乐器的动力来源。演奏者持续提供着动力：如果把这种方式跟电流进行有益的类比，这就像是直流电。然而，声音依赖于振荡着的运动或气流（像交流电）。在长笛中，在吹入的空气柱与笛腔空气共振的协同合作下，产生了一股振荡的流。一旦笛腔空气开始振动，部分能量就会以声音的形式，从笛尾和所有打开的孔中辐射出去。而另一部分以摩擦（粘滞损失）形式丢失于管壁的能量，其数量则要多得多了，所有丢失的能量，均由演奏者提供的能量进行补充。笛腔中空气柱在一些特定频率要容易振动得多（也就是说，在特定频率共振）。这些共振大幅度决定了演奏频率，也即音高，演奏者事实上是通过选择一组按键组合，来决定所需的共振组合。本文将对这些现象逐一进行分析。
空气柱振动
由演奏者嘴唇中间发出的空气柱，穿过吹口未遮盖部分，向吹孔远端的锋利边缘撞击。如果这段空气柱受到干扰，它会在前进方向上发生波动式的位移，使其偏移，结果是让空气柱忽而进入吹孔，忽而又离开吹孔。空气柱这种位移的速度，大约是其本身前进速度的一半（一般的范围是20到60米每秒，取决于演奏者口中的压力）。对空气柱的干扰源自笛腔内的声波振动，正是这种振动，让气流交替进出于吹孔。如果空气柱的速度能被精确调节，与演奏的音符频率相匹配，空气柱就能以正确的相位，在吹孔远端的边缘流入和流出，以帮助长笛发出持续的声音。在吹高音时，波动状态空气柱穿越吹孔的时间必须降低，以匹配更高的频率，这是通过提高吹奏压力（从而提高空气柱的速度），同时让唇部前伸以缩短气簧（风门到吹孔远端边棱的距离）实现的。在学习长笛演奏的过程中，这些调整都会逐步变成自动进行的动作。长笛演奏者通常被教导通过缩小风门来演奏高音。
下面的草图展示了长笛吹口部位的截面图，其中的空气柱被交替地上下弯折，进出笛腔（Bore of flute）。
开管的乐器
长笛的两头都是开放的。其尾端的开放性显而易见。如果仔细观察一个演奏长笛的人，你会发现，虽然演奏者用下唇盖住了吹孔的一部分，吹孔另外一大部分还是没有被她/他遮盖，而是与大气连通着，正如上面草图所示的那样。一开始，我们把长笛看成更简单的管子。首先，我们假设长笛是简单的圆柱体管——换句话说，假定所有的孔都被盖住了（至少在一定程度上，二者可以看做是等价的），头部是圆柱形的（根宁注：实际长笛的头部是近似锥形的），我们把开于侧边的吹孔换成是开于顶端的。事实上，这样就更像是一把尺八，而不是长笛了。这虽然是一种粗糙的近似，还是保留了大部分物理本质特征，并更容易讨论些。
下面的动画来自开管vs.闭管（长笛vs.单簧管）（），那篇文章对开闭管主题有更详尽的解释。动画显示了高压脉冲在两头开口于大气的管子中被反射的状况。注意一个完整的振动周期相当于脉冲走完两倍管子长度L的时间（每个方向一个L）。脉冲的速度是声速v，所以，正如我们下面要看到的那样，振动的重复频率是v/2L。
笛腔中空气的自然振动归因于共振。动画中空气脉冲所遭遇的反射，是这种共振的一个例子，是长笛的基音，或者说最低共振。在驻波（ ）页面对共振有更多解释。为什么开放的圆柱形管子里会有驻波或共振？我们将用正弦波和谐波的知识来回答这个问题。
管子两端与大气连接的事实，意味着其两端的总压力大约等同于气压，换句话说，声压（由声波造成的压力变化）为零。这些点被称作压力节点（pressure nodes），这些点实际上坐落于管端一小段距离（大概0.6倍管子半径的距离，如下图所示，这被叫做管口校正）之外。在管子内部，压力不再与气压相同，事实上，对第一共振来说，压力变化的最大值（压力波腹，pressure anti-node）在管子中央出现。下面给出了驻波的草图。粗线表示压力的变化量，细线代表空气分子位移的变化量。后者曲线的波腹在两端：空气分子在开放的两端可以自由进出。（注意压力节点与空气运动节点不是一回事：事实上，压力节点经常与运动波腹一致，反之亦然。）
上图所示的波形，是满足两端零压力条件下长度最长的驻波。在下面的图中，我们会看到两倍于长笛波长的波形。频率f等于波速v除以波长l，所以这是与该乐器最低音符波长相同的波：C脚长笛的C4。（长笛演奏者注意，本文使用的是标准音符名（），与你们有时候用的名称可能不同。）你也许想测量一下长笛的长度L，采用湿热空气中的声速v=350米每秒，来计算一下预期的频率。然后在音符表（）中检查一下答案。（由于管口校正的存在，你会发现答案只是近似正确。）
你能用这种全闭指法在长笛上演奏C4，同时你也能通过吹得更用力或缩小风门（二者均导致更快的空气柱），在这个指法上演奏其他音符。这些更多的音符，与两端声压为零所对应的，可能产生的更短波长的驻波相对应。其中的前几个如下图所示。
频率fo，2fo， 3fo等相对应的音符被称为谐波列，这些频率对应音符的音高如下图所示。关闭所有指孔，长笛前十个左右的共振大约就呈现着这样的比率，你能通过关闭所有指孔，并逐步提升吹气压力（或收缩风门），吹出其中的前七个或前八个来。注意第七谐波将近一半的偏高——这个音大概落在了A6 与A#6的当中。
长笛最低音的八个“谐波”
上面草图中的每个驻波对应着一个正弦波。弱奏的长笛声有点儿像正弦波（一种非常单纯的振动），但随着响度的增加，其声音就越来越不像正弦波了。想让重复或周期性的波动变成非正弦波，可以通过在正弦波中增加谐波来实现。所以长笛的C4会包含着一些C4的振动（让我们把这个频率叫做fo），一些C5（2fo），一些G5（3 fo），一些C6（4 fo），等等。以其构成频率来描述声音所形成的‘处方’，被称为频谱。通过观察C4实际演奏的声音频谱（ ）会发现，在轻力度下，第一谐波（基音）或者说C4音符的频率占有主导地位，随着演奏响度更大，高阶谐波变得更加重要，随着长笛的音调变得越来越丰富，其声音越来越不像正弦波了。（细节请看，响度与音色（ ））
（二）
气柱与管子
总结前述段落：长笛的内径对应着一组共振，这些共振间的比例与谐波列的比例近似一致，为1:2:3:4等，但随着频率增加，这种近似度会变得越来越差——下面的“频率响应”部分将讨论为何如此。吹出的空气柱有着其自身的固有频率，该频率取决于空气柱的速度与长度。用有点儿过于简化的说法，长笛通常会以最强内径共振频率演奏，而此共振频率即接近于空气柱的固有频率。（下文会看到如何使用高音孔来削弱低阶共振，并让高阶共振变成最强的。）
在演奏长笛时，空气柱会以某个特定频率振动。但是，特别是在振动强烈，也即大声演奏的时候，会产生谐波。在低音区，开始几个谐波是由驻波支持的。但对高音区来说，长笛的共振将不再和谐，故而只有一小部分谐波 ——在第三和第四八度中只有一个谐波是由内径共振支持的。如果大声演奏，频谱中会出现谐波振动，这可以在任何音符（ ）的频谱中观察到。
打开的指孔
如果从远端开始打开指孔，就会让压力波节沿着管子移得更近——这象是把管子给截短了。在波姆长笛上，每打开一个指孔会让音高提升一个半音。如下图所示，在C脚长笛上打开4个孔之后，即得到E4的指法。
至少现在来说，一个打开的指孔，几乎像是与外界大气连通的“捷径”，故打开第一个指孔，可近似地看作将长笛在该指孔附近锯开。在下面讨论高音孔和叉指指法的时候，我们还会回头来证明这些假设是否正确。（对技术性的读者，我们可以延伸到电学类比，说打开指孔实际上更像一个低值电感，对低频比对高频更像捷径。在下面讨论截止频率时，我们会回头谈这个）
高音孔
有些孔还能当高音孔使用。比如，演奏C4然后抬起左手拇指（根宁注：类似于在箫上演奏筒音最低音，然后打开8孔），这会打开一个正好处于乐器正中间的孔。从而让基音和奇数谐波不再发出，但对偶数谐波几乎没有影响，后者在该孔处有个波节。于是长笛‘跳到’C5（2 f1），还可以继续演奏C6，G6等音符。这里的高音孔能让演奏的音符（至少）高一个八度，因为该孔处于长笛工作长度的一半处，所以让乐器发出了基音C4的第二谐波。
下例展示的并非标准指法，而处于一半长度位置高音孔的使用，使得这个指法可奏出标准D5及其他音符。
当所需的波长短（即高音）时，可打开位于不同比例处的高音孔。比如，D6指法使用约位于G4工作长度三分之一处的高音孔，来产生G4的第三谐波（从而发出比G4高十二度的音符）。G6与G4指法的工作长度相同，但使用约位于四分之一处的高音孔，从而产生第四谐波。
D#6的一个替代指法使用与D#4相同的工作长度，但有两个高音孔，一个在波长的四分之一处，一个在一半处。注意长笛第三八度的所有音，很大程度上依赖于把指孔当做高音孔来发声（根宁注：箫也是这样。）。在这些音符的页面上，对特定的例子配有解说。（打开长笛声学页面（），并选择一个比D#6高的音）
（三）
长笛的声阻抗
空气柱流入和流出长笛的方式，取决于吹孔处的声阻抗，这是我们测量这个值的原因所在。声阻抗是声压与振动着的空气流量的比值（细节见声阻抗页面（ ））。如果声阻抗低，空气流就会稳定地进出，并发出大的声音。事实上，笛腔共振就是与声阻抗非常小的那些频率相对应着，这些频率之所以重要，是因其能‘捕捉’空气柱的行为，而让长笛只在与笛腔共振相近的频率上演奏。我们会在下文的频率响应部分（#frequency ）继续讨论声阻抗。在“声阻抗是什么及其为何重要？（ ）”一文中有更多的解释。还可参考关于C4声阻抗的讨论（ ）。
叉指指法
在现代波姆长笛上，可以通过打开相应的指孔来连续演奏半音。一个八度中有十二个半音，所以，比方说，需要打开以平均律分布的十二个键，以从底八度的D4上行到中八度的D5。（由于在D5和D#5上高音孔的使用，指法只在E4/5至C#5/6之间而非整个八度精确重复）十二个孔超出了普通演奏者手指的个数，加上右手拇指要支撑乐器，并不方便按孔。波姆按键系统使用离合器让一个手指能开闭数个指孔。
巴洛克长笛和早期经典时期的长笛按键很少。（见长笛的剖析与演进（ ））这些笛子有六个开放指孔，由双手的三个大手指负责开闭。依次打开这些指孔，将获得乐器的“自然”音阶，D大调。用X表示关闭，O表示打开，这些乐器的指法表大致是：
D4: XXX XXX
E4: XXX XXO
F#4: XXX XOO
G4: XXX OOO
A4: XXO OOO
B4: XOO OOO
C#5: OOO OOO
D5: OXX XXX
Terry McGee （ ）复制的经典长笛
E5到B5与E4到B4的指法相同。
在这些乐器上，叉指指法被用于演奏一些介于中间的音符。在叉指指法中，比第一个开放指孔更靠下的指孔会被关闭。例如，巴洛克长笛的F4/5（ ）的指法是：
F4/5 : XXX XOX
与F#4/5的指法比较一下，后者的指法是XXX XOO。对F#来说，驻波沿内径向下延伸，越过了第一个开放指孔。巴洛克和经典乐器比现代长笛驻波的延伸要更多，这是因为前者的指孔较小，因而内径与外界间的声阻抗也较小。（在现代长笛中，开放指孔的行为更像是一个声学短路器，所以现代长笛更像是在第一开放指孔向下不远处被锯开了。也因此，现代长笛有着相对较小的管口校正。）关闭靠下的指孔，让驻波进一步延伸，从而增加了相应指法下乐器的有效管长，使共振频率降低，音高变低。
叉指指法效应是与频率相关的。驻波越过开放指孔的程度随频率上升而增加，对小指孔尤其如此。这让笛子的有效管长随着频率的增加而增加。结果是，高频率的音，其声阻抗最低点的位置，会比相应的严格和谐比例频率更低。这导致一个效果，有些叉指指法不能同时在第一和第二八度使用：第一八度G#的叉指指法用在第二八度会太低，或干脆就吹不出接近G#的音。（见巴洛克长笛G#4指法（ ）和G#5指法（ ））
声阻抗最低点谐波比率被干扰的另一个效果，是当低音音符被奏响时，其谐波不会从乐器共振中“得到太多帮助”。（技术上来说，内径不在相应频率向空气柱提供反馈，也不提供声阻抗匹配，故而空气柱中更少呈现高阶谐波，及相应的辐射声波。）因此，像巴洛克长笛中F4和G#4这样的音符，其声波频谱的高阶谐波更弱，这些音的响度更小，比相邻其左右的音有着更晦暗或更圆润的音色。
前面说过，这些乐器的‘自然’音阶是D大调：在D和B小调中不使用叉指指法，所以音色是明亮的。在Eb大调或C小调中，其音色晦暗且音量也更轻。这些观察对巴洛克双簧管，巴洛克（和现代）竖笛，以及大致地，巴洛克巴松，都是适用的。我怀疑这种情况源自不同调带来的不同音质：有着一组升号的调，与明亮和较大的音量相关，而有着一组降号的调，则与晦暗和较小的音量相关。关于叉指指法声学的更多信息，可下载该主题的一篇科学论文来了解（ ）。
（四）
口风角度
长笛的设计有妥协折中之处，演奏者要对许多音高做轻微的调整。演奏者调低音高的主要方式，是结合下巴前后移动及内外转动长笛吹孔，以改变气簧几何形态来实现的。这些动作的效果包括：（i）增加了吹孔被下唇遮盖部分的面积，从而降低了吹孔开放于大气的面积，（ii）降低了声波辐射立体角的大小（通俗地说：更多地‘挡住’了声波的辐射），（iii）减少了气簧的长度，改变了气簧的角度。
效果（i）和（ii）增加了长笛的有效管长，从而使共振频率与音高降低。把吹孔向外转动和/或下巴前伸则效果相反，会让音高提升。技术上来说，这些动作是通过改变吹孔处的辐射阻抗而发生作用的：在一个音符被‘俯吹’时，吹孔被‘开得更小’（孔与角度都更小，所以内径与外界之间的阻抗更大）。气簧自身的效果则更为复杂。
通过在笛头安装阻抗测量设备，我们已经明确测量了这些效果和吹孔处的阻抗。（这是从被下唇部分阻塞的吹孔里面‘向外观察’得到的辐射域阻抗。演奏者的嘴唇和面部也在起着挡板的作用，缩减了辐射的角度。这些效果都汇报在近期的会议论文中——见我们的论文站点（ ）。）通过口法调整音准的幅度取决于阻抗频谱的细节和气簧的一些特性。在短管子上调整音高会更容易些，此时阻抗频谱中谐波的最低点，要比长管子指法的更少也更浅。类似效果在尺八上要大得多，对此，尺八声学站点进行了描述（ ）。
笛塞与‘笛头空间’
在吹口托盘（根宁注：长笛吹口有微隆起的托盘）与内径交汇，及笛塞将乐器封闭的两点之间，有着一小段空气。笛塞一般置于距吹口中心17毫米处（精确值随演奏者而异——见管乐器调音（ ））。对该距离任何实质性的调整，都会彻底改变长笛的内部定音。这是怎么做到的？
‘笛头空间’如同一截弹簧——压缩它，压力就提升。吹口托盘所围拢的空气可被看做一团重物。两者结合后，能像弹簧上的重物般进行共振（即，二者组成了一个赫尔姆霍茨共振器（））这个共振器可在很大频宽范围内共振，而中心位置大概是5千赫。在低得多的频率范围中，也即长笛的演奏音域中，它可被看做一个与内径主要部分平行的阻抗，但该阻抗的大小随频率下降而下降。这带来的主要效果是有利的：当笛塞位置正确时，该阻抗能抵偿长笛末端随频率产生的管口校正变化，从而在不同八度之间保持音准。另一方面，当接近赫尔姆霍茨共振频率时，该阻抗则无疑减少了阻抗随频率变化的幅度，成为限制乐器高音音域的一个因素。如果把笛塞向里推（根宁注：长笛的笛塞可向笛尾方向推动），就像恰朗加风格演奏者的做法，可以吹到第四个八度，但代价是得到了一把八度非常不准的乐器。如果想更多了解此效果，可下载我们的相关技术论文（）。要上溯长笛音域的最高音，可在虚拟长笛页面（）搜索‘high playability’指法，并查看F#7和G7（）的详情。
对长笛演奏家重要的一条信息则是，在管弦乐队的管乐声部里，长笛调整其内部音准的办法是最简便的。如果八度窄了，就把笛塞向里推一点。如果宽了，就向外拉一点。当然，必须让调整装置跟着一起滑动才对。也见管乐器调音（ ）。
（五·完）
截止频率
在我们第一次讨论指孔时曾经提到，指孔让内径与外界大气连通，从而缩短了有效管长。在低频区，这是正确的：指孔提供了与外界大气连通的低阻抗‘短路器’，声波会在指孔或其附近被反射回去。对高频区来说，情况就更复杂了。指孔中及其附近的空气是有质量的，一束声波要想通过指孔，必须让这团质量加速，所需的加速度（其他条件不变时）与频率的平方成正比：对高频波来说，要推动这团质量，半个振动周期的时间实在是太短了。
于是高频波被指孔中的空气所阻碍：这些指孔对高频波来说不像对低频波那样是开放的。低频波在第一个开放指孔处被反射，高频波则继续传播（这使得叉指指法成为可能），频率足够高的声波越过所有开放的指孔，沿着管子传播下去。所以说，一组开放的指孔就像一个高通滤波器：这个滤波器让高频通过而阻挡低频。（见滤波器举例（~jw/RCfilters.html#applications））
波姆长笛的截止频率是2千赫多一点儿。比如，在A4（ ）的声学响应曲线中，能看到前四或五个共振随频率增加逐渐变弱——这是内腔空气与管壁‘摩擦’（粘滞损失）的增强所致。然而，在2千赫以上，共振突然大幅变弱：这个频段的声波会沿着内径传播，并渐次从后续的指孔中传播出去。留存下来的弱驻波以不同的频率间隔产生共振，正如我们下一节会看到的那样。还有，比较一下A4与B3（ ）的曲线。后者是长笛上最低的音符，这个指法没有开放指孔，所以也没有截止频率。因此，在整个范围内，共振随频率均匀逐渐下落
对长笛最低一两个音的指法来说，不存在一组开放指孔，所以没有因此而产生的截止频率效应。原则上来说，如果高阶谐波足够强，截止频率的缺席会给这些音符带来不同的音色。避免这种情况的一个办法——在双簧管和单簧管上用的就是这个办法——是提供一个辐射高频而非低频的喇叭口，该喇叭口的截止频率与指孔相当。长笛的高频辐射功率不如双簧管和单簧管，故而用喇叭口让其音色‘变均匀’的需求不大。然而，喇叭口确能增加高频辐射，不论是长管子还是短管子，pinschofon就属此类乐器的一种。
（这篇论文（ ）给出了对巴洛克、经典与现代长笛截止频率和叉指指法的测量和分析。对截止频率及其效应的更详细解释可见这里 ）
频率响应
现在来看看现代长笛的声阻抗频谱。我们将选择C#5和C#6的指法，这些指法中大部分指孔都是开放的。如下图所示。（该图覆盖了宽阔的频率范围，但没有显示太多细节。更多细节请看 ）
在2.5千赫以下，这条曲线看起来与一半长度的简单圆柱体管的曲线（）类似，因为乐器下半部的指孔是打开的。前三个最小值都支持驻波，从而可以用这个指法来演奏C#5，C#6及G#6三个音。但是，到了2.5或3千赫以上，共振大幅减弱了。这由前文截止频率一节中所说的高通滤波器效应造成。频率再高，到了5千赫左右，被前文所述的笛头空间赫尔姆霍茨共振器效应所短路，共振几乎完全消失。在此频率之上，赫尔姆霍茨共振器不再发挥短路器的作用，共振重新出现，但因为腔内空气与管壁‘摩擦’（高频粘滞损失效应的增加）让共振变弱了。
不过要注意一个重要的差别。图中低频区段最大值或最小值之间的频率差大约是600赫兹（大致相当于C#5的频率，与无指孔半长长笛的驻波一致）。在高频区，最大值或最小值之间的频率差大约是260赫兹。这是C4的频率，与全长长笛的驻波一致。对高频区来说，长笛内径中的声波直接越过了开放指孔而传播下去，没有‘注意到’开放指孔的存在，这是由前文截止频率一段所讨论的空气惯性造成的。人类演奏者在这个频段吹不出能产生基音的气速来。对普通音域中的强奏音符来说，有些落在这个频段的高阶谐波也出不来。不过，这些谐波对于作为共振器的长笛来说几乎无用，所以调试这些甚高共振也没什么实用意义。
最后，注意曲线的整体形状，其在约9到10千赫有一个宽的极大值。这是由相对狭窄的吹口托盘引起的：托盘围拢着的空气连接着托盘与内径。这段两头有所溢出（管口校正）的空气，本身就是一个共振管，由于其宽度与长度相当，会在一个宽频范围内发生共振。图中的实线是一段有着吹口托盘截锥的理论阻抗，包括管口校正。关于长笛管口校正更多一些细节，见我们的论文（ ）。
笛类家族
笛类乐器种类繁多，最早的有四万年历史。很多文明都发明了不同种类的笛类乐器。下面的照片展示了一些子成员。
（a）是（中音）竖笛，与横笛的主要区别是拥有气道。对竖笛来说，气簧由气道的几何形态，而不是演奏者的嘴唇来塑造。这让竖笛成为一种对初学者来说相对容易的乐器。
尺八（b）是一种日本的端吹笛类乐器，其吹口端由演奏者的下颌部分封闭。这促成了更灵活的气簧形态，从而更灵活的音高，但让尺八成为一种初学困难的乐器。中国箫（未展示）是另外一种端吹笛类乐器，但有更多的指孔。
笛子（c）是一种中国横吹笛类乐器，其特色是贴在管壁膜孔上的薄膜（箭头所示）。笛膜压力容积曲线的非线性，有从低频谐波向高频谐波转移能量的效应，带来了更明亮的声音。
排箫或潘神箫（d）以每个音符配以一个共振管而不同，其每支共振管都在远端封闭。
陶笛（e）使用赫尔姆霍茨共振器（ ）而非共振管来驱动气簧。这使其能演奏比通常如此尺寸乐器所能演奏的，低得多的音符：在该乐器长度与波长之间没有简单对应关系。这里，腔内空气的作用如同弹簧，与此平行的，开放指孔中极微质量的空气团，作用如同弹簧上的重物：大概而言，开放指孔面积越大音高就越高。解释见赫尔姆霍茨共振器（ ）。绝大多数陶笛（如中国埙，未展示）较少指孔，从而指法复杂——所展示的九孔陶笛指法与简单横笛很相似。在这支笛类乐器上，即使是最低音，也只用一个共振，这让发出的音显得相对柔和与纯净。
学箫请看 →根宁说箫视频教程1-60期
